Достаточные условия экстремума и выпуклости функции в точке

Пусть: 1. $f(x)$ - $n$ раз дифференцируема в $x_{0}$ 2. $\forall{k = \overline{1,n-1}}\mathpunct{:}~~ f^{(k)}(x_{0}) = 0$ 3. $f^{(n)}(x_{0}) \neq 0,~~ n\geq 2$ Тогда: - Если $n$ - чётно и $f^{(n)}(x_{0}) > 0$, то $x_{0}$ - минимум - Если $n$ - чётно и $f^{(n)}(x_{0}) < 0$, то $x_{0}$ - максимум - Если $n$ - нечётно, то экстремума нет.

Запишем $f(x)$ с помощью формулы Тейлора в форме Пеано: $$f(x) = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}}{k!}(x-x_{0})^{k} + o((x-x_{0})^{n})$$ $$f^{(k)}(x_{0}) = 0 \implies f(x) - f(x_{0}) = \dfrac{(x-x_{0})^{n}}{n!}(f^{(n)}(x_{0}) + o(1))$$ Тогда если $n$ - чётно, то $$(x-x_{0})^{n} > 0 \implies \text{sign}(f(x)-f(x_{0})) = \text{sign}(f^{(n)}(x_{0}))$$ Поэтому: - если $f^{(n)}(x_{0}) > 0 \implies f(x) > f(x_{0})$ - если $f^{(n)}(x_{0}) < 0 \implies f(x) < f(x_{0})$ Если $n$ - нечётно, то с одной стороны $<$, а с другой $>$ $~~~~~\square$

Пусть: 1. $f(x)$ - $n$ раз дифференцируема в $x_{0}$ 2. $\forall{k = \overline{2,n-1}}\mathpunct{:}~~ f^{(k)}(x_{0}) = 0$ 3. $f^{(n)}(x_{0}) \neq 0,~~ n \geq 3$ Тогда: - Если $n$ - чётно и $f^{(n)}(x_{0}) > 0$, то $x_{0}$ - выпукла вниз - Если $n$ - чётно и $f^{(n)}(x_{0}) < 0$, то $x_{0}$ - выпукла вверх - Если $n$ - нечётно, то $x_{0}$ - точка перегиба.

Напомним: $y(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0})$ Пусть: $$g(x) = f(x) - y(x) = f(x) - (f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}))$$ Следовательно: $g(x_{0}) = 0$. Возьмём производные: $$g'(x) = f'(x) - f'(x_{0}) \implies g'(x_{0}) = 0$$ $$g''(x) = f''(x) \implies \begin{cases} g''(x_{0}) = 0 \\ \forall{k \geq 2}\mathpunct{:}~~ g^{(k)}(x) = f^{(k)}(x) \end{cases}$$ Получаем, что $\forall{k = \overline{1, n-1}}\mathpunct{:}~~ g^{(k)}(x_{0}) = 0$, $g^{(n)}(x_{0}) = f^{(n)}(x_{0}) \neq 0$, а значит по теореме о достаточном условии экстремума: - Если $n$ - чётно и $f^{(n)}(x_{0}) > 0$, то $x_{0}$ - минимум $g(x)$, поэтому $\forall{x \in O(x_{0})}\mathpunct{:}~ f(x) \geq y(x)$, т.е. выпуклость вниз. - Если $n$ - чётно и $f^{(n)}(x_{0}) < 0$, то $x_{0}$ - максимум $g(x)$, поэтому $\forall{x \in O(x_{0})}\mathpunct{:}~ f(x) \leq y(x)$, т.е. выпуклость вверх. - Если $n$ - нечётно, то $x_{0}$ - точка перегиба. $\square$

!smile.png